Talìa lu còdici di Tiurema di Banach-Steinhaus

'N [[matimàtica]], lu '''tiurema di Banach-Steinhaus''' o '''principiu di l'uniformi limitatizza''' è unu di li risurtati funnamintali 'n [[anàlisi funziunali]] e, nzemi cu lu [[tiurema di Hahn-Banach]] e cu lu [[tiurema di la funzioni aperta]], è cunzidiratu na di li basi di sta branca di l'anàlisi. Nta la sò forma cchiù sìmprici, chistu afferma ca pi na famigghia d'[[upiraturi liniari cuntìnuu|upiratura liniari cuntìnui]] addifiniti supra nu spazziu di Banach, la limitatizza puntuali è equivalenti a la limitatizza.

Lu tiurema fu pubbricatu pi la prima vota nta lu [[1927]] di [[Stefan Banach]] e [[Hugo Steinhaus]] ma fu macari addimustratu nnipinnintimenti di [[Hans Hahn]]. 

== Enunciatu ==

Sianu <math>X</math> nu [[spazziu di Banach]] e <math>Y</math> nu [[spazziu nurmatu]]. Sia <math>F</math> sia na famigghia d'upiratura liniari cuntìnui di <math>X</math> 'n <math>Y</math> tali ca pi tutti li ''x'' 'n ''X'' risurti

:<math>\sup \left\{\,\|Tx\| : T \in F \,\right\} < \infty, </math>.

Allura 

:<math> \sup \left\{\, \|T\| : T \in F \;\right\} < \infty. </math>

Utilizzannu lu [[tiurema di la catigurìa di Baire]], avemu la siquenti dimustrazzioni

== Dimustrazzioni ==
Di sècuitu avièmu a [[dimustrazzioni matimatica|dimustrazzioni]] di lu Tiurema di Banach-Steinhaus:<br>
P'ogni <math>n\in\textbf{N}</math> addifinemu li nzemi 

:<math>A_n \doteq \left\{x\in X: \|Tx\|\le n \ \forall T\in F\right\}</math>. 

P'ipòtisi, p'ogni <math>x\in X</math> asisti nu ìnnici naturali <math>n=n(x)</math> tali ca <math>\|Tx\|\le n\ \forall T\in F</math> e, pirtantu, s'havi
<math>X=\cup_{n=1}^\infty A_n</math>. Ussirvamu chi, pi la cuntinuità d'ogni elimentu <math>T</math> di <math>F</math>, tutti li nzemi <math>A_n</math> sunnu chiusi. Nvucannu lu [[tiurema di la catigurìa di Baire]] addiducemu c'asisti nu naturali <math>m</math> tali ca
<math>\overline{A}_m=A_m</math> havi nternu nun votu, vali a addiri c'asìstinu <math>y\in X</math> e <math>\epsilon>0</math> tali ca 

:<math>B(y,\epsilon)\subseteq T^{-1}\left(\left\{z: \|z\|\le m\right\}\right) \ \forall T \in F</math>. 

'N àutri paroli s'havi 

:<math>\|T(x+y)\|\le m \ \forall x: \|x\|< \epsilon, \ \forall T\in F</math> 

e quinni 

:<math>\|Tx\|\le \|T(x+y)\|+\|Ty\|\le m + \|Ty\| \ \forall x: \|x\|<\epsilon, \ \forall T\in F</math>. 

Datu <math>x\in X</math> s'havi 

:<math>\|Tx\|=\left\|T\left(\frac{\|x\|}{\epsilon}\cdot \frac{\epsilon}{\|x\|}\cdot x\right)\right\| =
\frac{\|x\|}{\epsilon}\left\|T\left(\epsilon \cdot \frac{x}{\|x\|}\right)\right\| \le \frac{\|x\|}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \ \forall T\in F</math>.

Di ciò sequi ca 

:<math>\|T\|\le \frac{1}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right)\ \forall T\in F</math>.

Cu ciò lu tiurema è pruvatu.

== Giniralizzazzioni ==

L'ammienti naturali pi lu tiurema di Banach-Steinhaus è nu spazziu botti unni vali la siquenti virsioni giniralizzata di lu tiurema:

Datu nu spazziu botti ''X'' e nu [[spazziu lucalmenti cunvessu]] ''Y'', allura quarsiasi famigghia d'[[upiraturi liniari cuntìnuu|upiratura liniari cuntìnui]] puntuarmenti limitati di ''X'' a ''Y'' è [[equicuntìnuu|equicuntìnua]] (macari [[unifurmimenti equicuntìnuu|unifurmementi equicuntìnua]]).

== Voci currilati ==

*[[Spazziu botti]], nu [[spazziu vitturiali tupulòggicu]] cu mìnimi riquisiti affinché vali lu '''tiurema di Banach-Steinhaus'''

== Rifirimenti ==

*(fr) Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "[https://web.archive.org/web/20060224095356/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm09/fm0908.pdf Sur le principle de la condensation de singularités]". [[Fundamenta Mathematicae]], '''9''' 50-61, 1927. 
[[Catigurìa:Anàlisi funziunali]]