Campu elèttricu

Difinizzioni

Lu campu elettricu eni nu campu vitturiali dittu campu a divirgenza assignata e a rutori nuddu (l'ùrtima difinizzioni vali sulu ppi l'elettrustàtica) unni ppi ogni puntu dû spazziu è pussìbbili assuciari nu vitturi diciutu forza di Coulomb.

Forza Coulombiana

ntâ prima mmàggini ci sunnu dui càrichi li stissi, ntâ secunna càrichi ccu signu uppostu

Lu vitturi 'n quistioni pò vèniri scrivutu 'n ginirali comu prudottu scalari dô mòdulu ppi lu versu soi

$\overrightarrow{𝐅}=|\overrightarrow{F}|\cdot \widehat{U_r}$ duva $\{\begin{array}{cc}& \mathbf{|}\overrightarrow{𝐅}\mathbf{|}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\\ & \widehat{{𝐔}_{𝐫}}=\frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}\\ \end{array}$

ma ntô casu spicìficu, quannu zoè s'avi a chi fari cu armenu dui càrichi elèttrichi ppi ogniduna di li quali si ponnu nnividuari nu vitturi, si ponnu aviri dui situazzioni:

1) siddu la prima carica $q_1$ havi lu stissu signu dâ secunna càrica $q_2$ allura ${\overrightarrow{F}}_{1su2}=-{\overrightarrow{F}}_{1su2}$ (zoè la forza ca la prima carica subbisci dâ secunna havi la stissa ntisitati e versu uppostu dâ forza subbita dâ secunna pi òpira dâ prima) picciò

${\overrightarrow{F}}_{1su2}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$ mentra ${\overrightarrow{F}}_{2su1}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$ ;

2) siddu li dui càrichi hannu signa uppusti allura

${\overrightarrow{F}}_{1su2}={\overrightarrow{F}}_{2su1}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$ .

Campu elèttricu e forza Coulombiana

Siddu si menti ntô spazziu nu corpu estesu e ntra li vicinanzi na càrica q diciuta càrica di prova , lu corpu risenti dô campu elèttricu dâ càrica di prova e 'n capu a la sò supirfici è distribbuita unifurmimenti na càrica Q.

${\overrightarrow{F}}_{tot}=\int \frac{qdQ}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}Q=\overrightarrow{E}\cdot Q⟶\overrightarrow{𝐄}=\frac{\overrightarrow{F}}{Q}$

Dâ difinizzioni nni veni ca l'unità di misura dû campu elettricu è $\frac{N}{C}$, zoè newton/coulomb (equivali a $\frac{V}{m}$, zoè volt/metru); e ca lu campu elettricu è rilativu a la pusizzioni dâ carica.

${\overrightarrow{E}}_{x,y,z}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)}{[(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$

Travagghiu, putinziali e campu elèttricu

Calculari lu campu elettricu pò risurtari diffìcili pi chissu cummeni raggiunari 'n tèrmini di travagghiu. Siddu si havi nu filu d'estremitati "ab" misu ntô u spàzziu cu na càrica di prova ntra li vicinanzi, e si spizzedda lu filu pezzi pezzi 'n nfiniti vitturi 'n manera di carculari lu travagghiu fattu supra a ognidunu pizzuddu dâ càrica di prova, lu travagghiu L eni

$𝐋=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}Q\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=Q\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|\overrightarrow{E}|\cdot \widehat{U_r}\cdot d\overrightarrow{s}=Q\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|\overrightarrow{E}|\cdot d\overrightarrow{r}=\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{(\overrightarrow{r}{)}^2}d\overrightarrow{r}=Q(\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_a}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_b})$

unni $d\overrightarrow{r}$ è la pruizzioni dû versu dû campu elettricu supra nu pizzuddu di filu, mentri ca

$\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_a}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_b}=\mathrm{\Delta }{V}_{ab}⟵$ diffirenza di putinziali .

Flussu dû campu elèttricu

Ginirarmenti si parra di flussu dû campu elèttricu niscenti di na supirfici chiuruta (nfatti na supirfici po' èssiri addisignata pi menzu di nu vetturi, di mòdulu lu stissu a l'ampiezza dâ supirfici, e cu dirizziuni e versu rapprisintatu dû versu nurmali a la supirfici dittu $\widehat{{𝐔}_{𝐧}}$ ; pi versu nurmali si ntenni nu versu pirpindiculari a la superfici, e quannu la superfici eni chiuruta, racchiudi zoè nu vulumi, si parra di versu nurmali nascenti dâ supirfici) e la liggi attraversu cui eni calculata è la liggi di Gauss difinita comu:

${\mathrm{\Phi }}_E=\oint \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}\widehat{U_n}dAria=\oint \overrightarrow{E}\widehat{U_n}dAria=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}$

Dimustrazziuni dô tiorema di Gauss

Angulu sòlidu

Si cunziddira na superfici no-riulari chiurata quarsiasi e, pi simprificari li calculi, si mmàggina la prisenza di na supirfici sfèrica dintra la supirfici no-riulari ca havi comu particularitati nu versu nurmali radiali e ànguli sòlidi $d\mathrm{\Omega }$

$d\mathrm{\Omega }=\frac{A_{sfera}}{{raggiu}^2}=\frac{4\pi r^2}{r^2}=4\pi$ (steradianti) $\to$ ccu $0\le \mathrm{\Omega }\le 4\pi$ ;

allura $\{\begin{array}{cc}& 𝐝{𝐀}_{𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚}=d{A}_s\cos \mathrm{\Theta }\\ & 𝐝\mathrm{\Omega }=\frac{d{A}_s\cos \mathrm{\Theta }}{r^2}\\ \end{array}$ e vistu ca $\{\begin{array}{cc}& \widehat{{𝐔}_{𝐧}}=\widehat{U_{radiali}}\\ & \widehat{{𝐔}_{𝐧}}\cdot \widehat{{𝐔}_{𝐫𝐚𝐝}}=\cos \mathrm{\Theta }\\ & \overrightarrow{𝐄}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{\widehat{U_{radiali}}}{r^2}\\ \end{array}$

quinni $\to$ ${\mathrm{\Phi }}_E=\oint \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{\widehat{U_{radiali}}}{r^2}\widehat{U_n}\cdot d{A}_s=\oint \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}d\mathrm{\Omega }=\frac{q_{int}4\pi }{4\pi {\epsilon }_0}=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}$

Lìnii dû campu elèttricu

Lu campu elettricu veni rapprisintatu pi menzu di lìnii e campu, ca sunnu cchiù fitti 'n cìrculu a la càrica e su' cchiù picca ntâ luntananza. Si la càrica cunziddirata eni pusitiva, li lìnii dû campu si dìciunu niscenti (s'irraggianu 'n tutti li dirizziuni a cumiciari dâ càrica) e la càrica eni difinita surgenti; siddu la càrica cunziddirata eni nigativa, li lìnii dû campu sunnu diciuti trasenti (sunnu diriggiuti agghiri la càrica) e la càrica veni difinita puzzu.

Càrculu dû campu elèttricu

• Sfera cava

Si mmàggina la prisenza di na sfera cava, ca racchiudi na prima, passanti pi nu ginèricu puntu P ;

${\mathrm{\Phi }}_{sfera}=\oint \overrightarrow{E}\widehat{U_r}dA=|\overrightarrow{E}|4\pi r^2$ e vistu ca $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}$ allura $\to \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

[lu raggiu dâ sfera passanti pi lu puntu P ha' d'essiri cchiù granni dâ sfera cava, artrimenti, la sfera cava si cumporta comu si fussi na càrica puntifurmu, e la càrica si distribbuisci unifurmumentu 'n capu a la supirfici, mentri dintra càrica nun è].

• Sfera china

Si mmàggina la prisenza di na sfera cava passanti ppi nu ginèricu puntu P :

- siddu $r_p\ge r_{sfera}$ annunca $\to \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

- siddu $r_p<r_{sfera}$ annunca $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot Vulumu}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot 4\pi r^3}{3{\epsilon }_0}$ pirciò $\to \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_s\cdot 4\pi r^3}{4\pi 3r^2{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}=\frac{{\rho }_s\cdot r}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

• Sfera china cu cavità nterna

$\overrightarrow{E_{sf.p.}}=\frac{{\rho }_s\cdot r_{sf.p.}}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$, $\overrightarrow{E_{cavit}}=\frac{{\rho }_s\cdot r_{cavit}}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$, pirciò$\to \overrightarrow{E_{tot}}=\frac{{\rho }_s\cdot |r_{sf.p.}-r_{cavit}|}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

• làmina chiana

Si mmàggina la prisenza di nu cilindru ca veni tagghiatu a mitati dâ làmina.

${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{sup.lat.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+2\underset{bas.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA=0+2|\overrightarrow{E}|A_b$; ma datusi ca $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot A_b}{{\epsilon }_0}$

annunca $\to \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_s}{2{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_n}$.

• filu rittilìniu

Si mmàggina la prisenza di nu cilindru ca racchiudi lu filu.

${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{sup.lat.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+\underset{bas.inf.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+\underset{bas.sup.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA=\underset{sup.lat.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+0+0=\oint |\overrightarrow{E}|dA=|\overrightarrow{E}|\cdot 2\pi rh$;

ma datusi ca $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot h}{{\epsilon }_0}$ annunca $\to \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_s}{2\pi r{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_n}$.

• aneddu

Si mmàggina di frantumari l'aneddu 'n pizzudda nichi ognidunu di li quali havi na càrica dQ , e la distanza ntra tutti sti pizzareddi eni "d".

$V_{an}=\int \frac{dQ}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{r^2+x^2}}$

$\overrightarrow{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{x}{{(r^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}\cdot \widehat{U_x}$

• Discu

Si cunziddira lu discu comu s'iddu fussi fattu di tanti aneddi ca hannu nu raggiu $0\le r_{anel}\le R_{disc}$, ognidunu di li quali havi na parti nica e càrica dQ e $Q={\rho }_l\cdot 2\pi r$ unni ${\rho }_l$ eni la dinzità dâ càrica ca veni murtipricata ppi la circunfirenza.

$V_{disc}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{{\rho }_l\cdot 2\pi r}{4\pi {\epsilon }_0\sqrt{r^2+x^2}}d\overrightarrow{r}=\frac{{\rho }_l}{2{\epsilon }_0}\cdot (\sqrt{r^2+x^2}-|x|)$

$\overrightarrow{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{{\rho }_l}{2{\epsilon }_0}(\frac{x}{|x|}-\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}})\cdot \widehat{U_x}$

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Vuci currilati

• vitturi
• Campu magneticu
• hypersfera