Campu elettricu (artìculu 'n calabbrisi)

Dehiniziuna

U campu elettricu esta nu campu vetturiala dittu campu a divergenza assegnata e a rotora nuddhu (l' ultima definiziona esta valida sulu 'ppe l'elettrustatica ) duva 'ppe ogni puntu d'o spaziu esta possibbila associara nu vettura dittu horza 'e Coulomb .

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=divergenza\overrightarrow{E}=(\frac{\partial E}{\partial x}+\frac{\partial E}{\partial y}+\frac{\partial E}{\partial z})⟶$ 'a prima hormula 'e Maxwell

In fisica 'a divergenza d'o campu elettricu rappresenta u flussu d'o u campu elettricu attraversu 'na superficia.

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=rutura\overrightarrow{E}=(0,0,0)$

Ppe chiddhu cchi riguarda u rutura 'nvecia, cussi com'esta possibbala disegnara u campu elettricu, accussi esta possibbala disegnara nu campu scalara hattu ccu linei cchi hannu u stessu potenziala e ca sunnu perpendiculari a li linei d'o campu elettricu; e u prodottu vetturiala fra i dui campi esta nuddhu in elettrustatica.

Horza Coulombiana

'nta 'a prima immaggina ci sunnu dui carichi uguali, 'nta 'a secunda carichi ccu signu oppustu

U vettura 'n questiona pò venira scrivutu 'n generala comu prodottu scalara d'o modulu 'ppe u versura soi

$\overrightarrow{𝐅}=|\overrightarrow{F}|\cdot \widehat{U_r}$ duva $\{\begin{array}{cc}& \mathbf{|}\overrightarrow{𝐅}\mathbf{|}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\\ & \widehat{{𝐔}_{𝐫}}=\frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}\\ \end{array}$

ma 'nto u casu specificu, quandu cioè s' ava a cchi fara ccu armenu dui carichi alettrichi 'ppe ogn'una d'e quali si ponnu 'ndividuara nu vettura, si ponnu avira du' situazioni:

1) si 'a prima carica $q_1$ ava u stessu signu d'a secunda carica $q_2$ allora ${\overrightarrow{F}}_{1su2}=-{\overrightarrow{F}}_{1su2}$ (cioè 'a horza cchi 'a prima carica subiscia d'a secunda ava uguala 'ntesità e versu oppostu d'a horza subbita d'a secunda ad opera d'a prima) qiundi

${\overrightarrow{F}}_{1su2}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$ mentra ${\overrightarrow{F}}_{2su1}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$ ;

2) si i dui carichi hannu signi oppusti allora

${\overrightarrow{F}}_{1su2}={\overrightarrow{F}}_{2su1}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$ .

Campu elettricu e horza Coulombiana

Si si minta 'nto u spaziu nu corpu estesu e 'ntra i vicinanzi 'na carica q ditta carica 'e prova , u corpu risenta d'o campu elettricu d'a carica 'e prova e subba 'a superficia sua esta distribuita unformementa 'na carica Q.

${\overrightarrow{F}}_{tot}=\int \frac{qdQ}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}Q=\overrightarrow{E}\cdot Q⟶\overrightarrow{𝐄}=\frac{\overrightarrow{F}}{Q}$

D'a dehiniziuna si'nda ricava ca l'unità 'e misura d'o campu elettricu esta $\frac{N}{C}$, cioè newton/coulomb (equivala a $\frac{V}{m}$, cioè volt/metru); e ca u campu elettricu esta relativu a la pusiziuna d'a carica.

${\overrightarrow{E}}_{x,y,z}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)}{[(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$

Lavoru, Potenziala e campu elettricu

Calculara u campu elettricu po risurtara difficila 'ppe chissu cumbena ragiunara in termini 'e lavoru. Si si ava nu hilu d'estremita "ab" postu 'nto u spaziu ccu 'na carica 'e prova 'ntra i vicinanzi, e si spezzetta u hilu in miriadi 'e vetturi 'mmodu da calcolara u lavoru hattu subba ogni frammentu d'a carica 'e prova u lavoru L esta

$𝐋=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}Q\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=Q\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|\overrightarrow{E}|\cdot \widehat{U_r}\cdot d\overrightarrow{s}=Q\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|\overrightarrow{E}|\cdot d\overrightarrow{r}=\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{(\overrightarrow{r}{)}^2}d\overrightarrow{r}=Q(\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_a}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_b})$

duva $d\overrightarrow{r}$ esta 'a proieziona d'o versura d'o campu elettricu subba 'nu pezzettinu 'e hilu, mentra

$\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_a}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\overrightarrow{r}}_b}=\mathrm{\Delta }{V}_{ab}⟵$ differenza 'e potenziala .

Flussu d'o campu elettricu

Generalmenta si parra 'e flussu d'o campu elettricu nescenta d'a na superficia chiusa (infatti na superficia pò essara espressa attraversu nu vettura, de modulu uguala 'a l'ampiezza d'a superficia, e ccu direziuna e versu rappresentatu d'o versura normala 'a la superficia dittu $\widehat{{𝐔}_{𝐧}}$ ; ppe versura normala s'intenda nu versura perpendiculara 'a la superficia, e quandu 'a superficia esta chiusa, racchiuda cioè nu vuluma, si parra 'e versura normala nescenta d'a superficia) e 'a legge attraversu cui esta calculata esta 'a legge 'e Gauss dehinita comu:

${\mathrm{\Phi }}_E=\oint \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}\widehat{U_n}dArea=\oint \overrightarrow{E}\widehat{U_n}dArea=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}$

Dimostraziuna d'o teorema 'e Gauss

Angulu solidu

Si cunsidera na superficia irregulara chiusa quarsiasi e, ppe semplificara i calculi, s'immagina 'a presenza de 'na uperficia sferica dintra 'a superficia irregulara cchi ava comu particularirità nu versura normala radiala e anguli solidi $d\mathrm{\Omega }$

$d\mathrm{\Omega }=\frac{A_{sfera}}{{raggio}^2}=\frac{4\pi r^2}{r^2}=4\pi$ (steradianti) $\to$ ccu $0\le \mathrm{\Omega }\le 4\pi$ ;

allora $\{\begin{array}{cc}& 𝐝{𝐀}_{𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚}=d{A}_s\cos \mathrm{\Theta }\\ & 𝐝\mathrm{\Omega }=\frac{d{A}_s\cos \mathrm{\Theta }}{r^2}\\ \end{array}$ e vistu ca $\{\begin{array}{cc}& \widehat{{𝐔}_{𝐧}}=\widehat{U_{radiale}}\\ & \widehat{{𝐔}_{𝐧}}\cdot \widehat{{𝐔}_{𝐫𝐚𝐝}}=\cos \mathrm{\Theta }\\ & \overrightarrow{𝐄}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{\widehat{U_{radiale}}}{r^2}\\ \end{array}$

quindi $\to$ ${\mathrm{\Phi }}_E=\oint \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{\widehat{U_{radiale}}}{r^2}\widehat{U_n}\cdot d{A}_s=\oint \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}d\mathrm{\Omega }=\frac{q_{int}4\pi }{4\pi {\epsilon }_0}=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}$

Linei d'o campu elettricu

U campu elettricu vena rappresentatu attraversu linei e campo, cchi sunnu cchjù hitti 'ngiru 'ngiru a la carica e si diradanu ccu l'aumentara d'a distanza. Si 'a carica cunsiderata esta pusitiva i linei d'o campu si dicianu nescenti (s'irraggianu 'n tutti i direziuni a cumiciara d'a carica) e 'a carica esta dehinita surgenta; si 'a carica cunsiderata esta negativa i linei d'o campu sunnu ditti entranti (sunnu diretti versu 'a carica) e 'a carica esta dehinita puzzu.

Carculu d'o campu elettricu

• Sfera cava

S'immaggina 'a presenza de 'na sfera cava, cchi racchiuda 'a prima, passanta ppe nu genericu puntu P ;

${\mathrm{\Phi }}_{sfera}=\oint \overrightarrow{E}\widehat{U_r}dA=|\overrightarrow{E}|4\pi r^2$ e vistu ca $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}$ allora $\to \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

[u raggiu d'a sfera passanta 'ppe 'u puntu P ha d'essera cchiu randa d'a sfera cava, artrimenti, 'a sfera cava si cumporta comu si hussera na carica puntihorma, e 'a carica si distribuiscia uniformementa subba a superficia, mentre all'internu carica 'ondè].

• Sfera china

S'immaggina 'a presenza de 'na sfera cava passanta ppe nu genericu puntu P :

- si $r_p\ge r_{sfera}$ allora $\to \overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

- si $r_p<r_{sfera}$ allora $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot Volume}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot 4\pi r^3}{3{\epsilon }_0}$ quindi $\to \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_s\cdot 4\pi r^3}{4\pi 3r^2{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}=\frac{{\rho }_s\cdot r}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

• Sfera china ccu cavità 'nterna

$\overrightarrow{E_{sf.p.}}=\frac{{\rho }_s\cdot r_{sf.p.}}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$, $\overrightarrow{E_{cavit}}=\frac{{\rho }_s\cdot r_{cavit}}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$, quindi $\to \overrightarrow{E_{tot}}=\frac{{\rho }_s\cdot |r_{sf.p.}-r_{cavit}|}{3{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_r}$

• lamina chiana

S'immaggina 'a presenza de nu cilindru cchi vena tagghiatu a metà d'a lamina.

${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{sup.lat.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+2\underset{bas.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA=0+2|\overrightarrow{E}|A_b$; ma vistu ca $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot A_b}{{\epsilon }_0}$

allora $\to \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_s}{2{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_n}$.

• Hilu rettilineu

S'immaggina 'a presenza de nu cilindru cchi racchiuda u hilu.

${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{sup.lat.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+\underset{bas.inf.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+\underset{bas.sup.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA=\underset{sup.lat.}{\overset{}{\oint }}\overrightarrow{E}\widehat{U_n}dA+0+0=\oint |\overrightarrow{E}|dA=|\overrightarrow{E}|\cdot 2\pi rh$;

ma vistu ca $\mathrm{\Phi }=\frac{q_{int}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_s\cdot h}{{\epsilon }_0}$ allora $\to \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_s}{2\pi r{\epsilon }_0}\cdot \widehat{U_n}$.

• aneddhu

Si immaggina de frantumara l'aneddhu in picculi pezzi ognunu dei quali ava 'na carica dQ , e 'a distanza fra tutti 'sti pezzareddhi esta "d".

$V_{an}=\int \frac{dQ}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{r^2+x^2}}$

$\overrightarrow{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{x}{{(r^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}\cdot \widehat{U_x}$

• Discu

Si cunsidera u discu comu si hussera hattu de tanti anelli cchi hannu nu raggiu $0\le r_{anel}\le R_{disc}$, ognunu d'e quali ava 'na piccula parta e carica dQ e $Q={\rho }_l\cdot 2\pi r$ duva ${\rho }_l$ esta 'a densità 'e carica cchi vena murtipricata ppe 'a circunferenza.

$V_{disc}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{{\rho }_l\cdot 2\pi r}{4\pi {\epsilon }_0\sqrt{r^2+x^2}}d\overrightarrow{r}=\frac{{\rho }_l}{2{\epsilon }_0}\cdot (\sqrt{r^2+x^2}-|x|)$

$\overrightarrow{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{{\rho }_l}{2{\epsilon }_0}(\frac{x}{|x|}-\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}})\cdot \widehat{U_x}$

---

Vuci currelati

• vettura
• Campu magneticu.