Radianti

U radianti (gìniralmenti innìcatu rad quannu nìcissariu), eni la unitati di misura di la larchizza di li anguli dû Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura. Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la lunchizza di l'arcu di circunfirenza tracciatu da l'angulu e la lunchizza dû raggiu di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu nùmmaru puru.

Definizione di radiante

Si pigghìassi na circunfirenza cu centru ntô vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu $l$ a lunchizza di tali arcu, $r$ chidda dû raggiu, $c$ chidda di la circunfirenza e $\alpha$ l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.

${\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{l}{r}$

$l=r\cdot {\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}$

Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni adimensionali, datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.

Essennu a lunchizza di la circunfirenza $c$ uguali a $2\pi r$ e lu raggiu longu $r$, l'angulu di nu cerchiu eni uguali a $2\pi$.

$\alpha =\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$

Ricurdannu ca la misura di la lunchizza di la circunfirenza eni:

$c=2\pi r,$

Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:

$\frac{{\alpha }^{(\circ )}}{l}=\frac{360^{\circ }}{2\pi r},$

$\alpha$ arrìsulta funzioni di $l$:

${\alpha }^{(\circ )}=f\left(l\right),$

Ossia:

${\alpha }^{(\circ )}(l)=\frac{360^{\circ }\cdot l}{2\pi r},$

Da cui:

${\alpha }^{(\circ )}(l)=\frac{l}{r}\cdot \frac{360^{\circ }}{2\pi }$

Dunque, punnnu $l=r$, da l'equazzioni pricirenti si utteni:

${\alpha }^{(\circ )}(l=r)=\frac{360^{\circ }}{2\pi }\approx 57,29578^{\circ }\approx 57^{\circ }17^{\prime }44,8^{″}=1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}$

Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:

$360^{\circ }=\frac{2\pi }{2\pi }\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot \frac{360^{\circ }}{2\pi }=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}$

Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a gradi sessagesimali e viciversa:

$\frac{{\alpha }^{(\circ )}}{{\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}}=\frac{360^{\circ }}{2\pi }$

${\alpha }^{(\circ )}=\frac{360^{\circ }}{2\pi }\cdot {\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}$

${\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{2\pi }{360^{\circ }}\cdot {\alpha }^{(\circ )}.$

Utilitati di la scelta dû radianti

A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.

Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$.

Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.

Cancìamentu gradi-radianti

Nu radianti eni uguali a $180/\pi$ gradi. Pì cunvirtiri radianti 'n gradi eni quinni sufficenti multiplicari pì $180/\pi$:

${\alpha }^{(\circ )}={\alpha }^{(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }.$

Pì esempiu:

$1\text{ rad}=1\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57,2958^{\circ }$

$2,5\text{ rad}=2,5\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 143,2394^{\circ }$

$\frac{\pi }{3}\text{ rad}=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=60^{\circ }.$

Nta stissa maniera, pì cunvirtiri gradi 'n radianti si multiplicanu pì π/180:

${\alpha }^{(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})}={\alpha }^{(\circ )}\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}.$

Pì esempiu:

$1^{\circ }=1\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0,0175\text{ rad}$

$23^{\circ }=23\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0,4014\text{ rad}$

gradi radianti 0 0 15 π /12 30 π /6 45 π /4 60 π /3 90 π /2 120 2/3 π 135 3/4 π 150 5/6 π

gradi radianti 180 π 210 7/6 π 225 5/4 π 240 4/3 π 270 3/2 π 300 5/3 π 315 7/4 π 330 11/6 π 360 2π

Si avi quinni:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secunni

1 gradu = 0,01745 32925 19943 rad;

1 primu = 0,00029 08882 08666 rad

1 secunnu = 0,00000 48481 36811 rad

Talìa puru

• Gradu d'arcu
• Gradu cintesimali
• Angulu
• Pi grecu
• Steradianti
• Millesimu di radianti