Tiurema di Banach-Steinhaus

'N matimàtica, lu tiurema di Banach-Steinhaus o principiu di l'uniformi limitatizza è unu di li risurtati funnamintali 'n anàlisi funziunali e, nzemi cu lu tiurema di Hahn-Banach e cu lu tiurema di la funzioni aperta, è cunzidiratu na di li basi di sta branca di l'anàlisi. Nta la sò forma cchiù sìmprici, chistu afferma ca pi na famigghia d'upiratura liniari cuntìnui addifiniti supra nu spazziu di Banach, la limitatizza puntuali è equivalenti a la limitatizza.

Lu tiurema fu pubbricatu pi la prima vota nta lu 1927 di Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma fu macari addimustratu nnipinnintimenti di Hans Hahn.

Enunciatu

Sianu $X$ nu spazziu di Banach e $Y$ nu spazziu nurmatu. Sia $F$ sia na famigghia d'upiratura liniari cuntìnui di $X$ 'n $Y$ tali ca pi tutti li x 'n X risurti

$\sup \{\Vert Tx\Vert :T\in F\}<\mathrm{\infty },$.

Allura

$\sup \{\Vert T\Vert :T\in F\}<\mathrm{\infty }.$

Utilizzannu lu tiurema di la catigurìa di Baire, avemu la siquenti dimustrazzioni

Dimustrazzioni

Di sècuitu avièmu a dimustrazzioni di lu Tiurema di Banach-Steinhaus:
P'ogni $n\in \mathbf{\text{N}}$ addifinemu li nzemi

$A_n\doteq \{x\in X:\Vert Tx\Vert \le n\mathrm{\forall }T\in F\}$.

P'ipòtisi, p'ogni $x\in X$ asisti nu ìnnici naturali $n=n(x)$ tali ca $\Vert Tx\Vert \le n\mathrm{\forall }T\in F$ e, pirtantu, s'havi $X=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{A}_n$. Ussirvamu chi, pi la cuntinuità d'ogni elimentu $T$ di $F$, tutti li nzemi $A_n$ sunnu chiusi. Nvucannu lu tiurema di la catigurìa di Baire addiducemu c'asisti nu naturali $m$ tali ca ${\bar{A}}_m=A_m$ havi nternu nun votu, vali a addiri c'asìstinu $y\in X$ e $ϵ>0$ tali ca

$B(y,ϵ)\subseteq T^{-1}\left(\{z:\Vert z\Vert \le m\}\right)\mathrm{\forall }T\in F$.

'N àutri paroli s'havi

$\Vert T(x+y)\Vert \le m\mathrm{\forall }x:\Vert x\Vert <ϵ,\mathrm{\forall }T\in F$

e quinni

$\Vert Tx\Vert \le \Vert T(x+y)\Vert +\Vert Ty\Vert \le m+\Vert Ty\Vert \mathrm{\forall }x:\Vert x\Vert <ϵ,\mathrm{\forall }T\in F$.

Datu $x\in X$ s'havi

$\Vert Tx\Vert =\Vert T(\frac{\Vert x\Vert }{ϵ}\cdot \frac{ϵ}{\Vert x\Vert }\cdot x)\Vert =\frac{\Vert x\Vert }{ϵ}\Vert T(ϵ\cdot \frac{x}{\Vert x\Vert })\Vert \le \frac{\Vert x\Vert }{ϵ}(m+\Vert Ty\Vert )\mathrm{\forall }T\in F$.

Di ciò sequi ca

$\Vert T\Vert \le \frac{1}{ϵ}(m+\Vert Ty\Vert )\mathrm{\forall }T\in F$.

Cu ciò lu tiurema è pruvatu.

Giniralizzazzioni

L'ammienti naturali pi lu tiurema di Banach-Steinhaus è nu spazziu botti unni vali la siquenti virsioni giniralizzata di lu tiurema:

Datu nu spazziu botti X e nu spazziu lucalmenti cunvessu Y, allura quarsiasi famigghia d'upiratura liniari cuntìnui puntuarmenti limitati di X a Y è equicuntìnua (macari unifurmementi equicuntìnua).

Voci currilati

• Spazziu botti, nu spazziu vitturiali tupulòggicu cu mìnimi riquisiti affinché vali lu tiurema di Banach-Steinhaus

Rifirimenti

• (fr) Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.